几乎所有工程领域都使用仿真在虚拟环境中来预测组件的性能。然而，这并不是仿真技术的唯一优势。了解影响组件性能的主要因素能够赋予设计过程更多价值。在 COMSOL Multiphysics® 软件中进行灵敏度分析理解这种关系的一种方法。今天，我们将展示如何在一个承受弯曲和扭转载荷的桁架塔中使用 COMSOL 软件的灵敏度研究步骤进行分析。

什么是灵敏度分析？

如果你曾经对更改模型中某个参数的影响进行过研究，那么基本上你已经对该参数进行了灵敏度分析。这些参数可以是材料特性、载荷或几何距离。在两种情况下，对灵敏度进行研究很重要：

• 你需要描述响应对输入数据的不确定性的敏感程度；例如，制造容差或材料特性
• 你需要更改参数来提高设计的性能，并希望找出最有效地实现目标的更改
  
  

显然，如果参数扰动很大，响应的改变会更大，因此将所测量的任何变化除以参数扰动的大小，来获得标准化的灵敏度测量值是有意义的。然后，再将这个归一化的数字与以相同方式计算的其他参数的类似数字进行比较，假设这些参数在某种程度上是等效的并且具有相同的单位。

这种（或多或少通过手动进行的）灵敏度分析称为前向差分分析 ，其计算成本与参数数量成正比。它最适用于参数数量较少的情况。然而，选择参数扰动的大小可能有点棘手，因为它必须足够大以避免数值噪声，并且应足够小以避免非线性效应。

你可以通过增加和减少参数来获得所谓的中心差分来提高分析的准确性，如下图所示。从计算的角度来看，这需要花费2倍的时间，因为你必须对两个新的参数值而不是一个新值来评估模型。

在数学上，灵敏度可以看成是对一个或多个输入参数的求导结果。上述我们讨论的两种方法是最常见的近似求导法。

可以使用灵敏度分析以及正向或中心差分相结合的方法来计算曲线的斜率。

然而，灵敏度分析是 COMSOL Multiphysics 中的内置功能，因此你无需自行扰动参数。你可以使用伴随灵敏度分析来避免一些相关数值参数带来的参数扰动，结果以单一线性解的代价来计算灵敏度。从概念上讲，你可以把它看所使用分析方法计算导数，而不是通过有限差分对它进行近似。这个功能可用于稳态和频域研究类型，只要参数不改变网格就可以使用。

文中演示的示例中，我们将使用伴随灵敏度分析，因为考虑的问题有很多参数。

桁架塔的弯曲和扭转

想象一个底部固定的桁架塔，顶部承受扭转和弯曲载荷，如下图左侧所示。该模型使用不包含旋转信息的桁架单元。但是，计算倾斜度和扭转度需要这些信息。

该模型使用梁单元（在下图右上方显示为黑色十字）来测量倾斜度和扭转度。

弯曲和扭转载荷工况（左）以及使用 4 个顶部节点位移计算的偏航和倾斜变形的定义（右）。

下表列出了扭转和弯曲载荷工况的倾斜度和扭转度：

载荷工况	倾斜度（°）	扭转度（°）
弯曲	0.72	0
扭转	0	1.2

在 COMSOL Multiphysics® 中执行灵敏度分析

我们将研究该塔对单个梁横截面积变化的敏感程度。通过为每个梁创建一个控制变量来实现这个研究，该变量可用于调节梁的横截面积。在 COMSOL 中我们使用边控制变量场 Abar 来实现。COMSOL Multiphysics 的核心功能包含灵敏度研究步骤，我们需要在“显示更多选项 ”对话框中启用并添加这项功能。

可以从显示更多选项中启用灵敏度研究步骤。

控制变量将自动显示在灵敏度研究步骤中，但必须使用探针或积分耦合算子定义目标函数。无论哪种情况，我们都可以在灵敏度研究步骤中输入目标函数，如下图所示。

倾斜目标被定义为一个变量，因此它可以直接写入目标函数表格或使用添加表达式按钮添加。

灵敏度分析的结果

对于控制变量的灵敏度，我们可以使用表达式 fsens(abar) 绘制，如下图的倾斜灵敏度所示。对于弯曲载荷工况，如果对垂直梁进行加固，倾斜度将会降低，尤其是在塔的下部。右侧为扭转载荷工况，我们可以看到塔的倾斜对梁区域的变化不敏感。

绘制了弯曲载荷工况（左）和扭转载荷工况（右）下的倾斜灵敏度。

扭转灵敏度如下图所示。我们可以通过在一侧加固对角梁，同时在另一侧削弱对角梁，为弯曲荷载工况引入扭转度。这样做会破坏对称性，使塔顶响应弯曲载荷而扭转。对于扭转载荷工况，可以通过加强对角梁来减小扭转度。

绘制了弯曲载荷工况（左）和扭转载荷工况（右）的扭转灵敏度。

倾斜度和扭转度对水平梁的变化都不敏感，这表明可以移除它们，从而降低结构的成本。然而，这将导致垂直梁的长度加倍，结构将变得更容易受到局部屈曲的影响。

几乎所有工程领域都使用仿真在虚拟环境中来预测组件的性能。然而，这并不是仿真技术的唯一优势。了解影响组件性能的主要因素能够赋予设计过程更多价值。在 COMSOL Multiphysics® 软件中进行灵敏度分析理解这种关系的一种方法。今天，我们将展示如何在一个承受弯曲和扭转载荷的桁架塔中使用 COMSOL 软件的灵敏度研究步骤进行分析。

什么是灵敏度分析？

如果你曾经对更改模型中某个参数的影响进行过研究，那么基本上你已经对该参数进行了灵敏度分析。这些参数可以是材料特性、载荷或几何距离。在两种情况下，对灵敏度进行研究很重要：

• 你需要描述响应对输入数据的不确定性的敏感程度；例如，制造容差或材料特性
• 你需要更改参数来提高设计的性能，并希望找出最有效地实现目标的更改
  
  

显然，如果参数扰动很大，响应的改变会更大，因此将所测量的任何变化除以参数扰动的大小，来获得标准化的灵敏度测量值是有意义的。然后，再将这个归一化的数字与以相同方式计算的其他参数的类似数字进行比较，假设这些参数在某种程度上是等效的并且具有相同的单位。

这种（或多或少通过手动进行的）灵敏度分析称为前向差分分析 ，其计算成本与参数数量成正比。它最适用于参数数量较少的情况。然而，选择参数扰动的大小可能有点棘手，因为它必须足够大以避免数值噪声，并且应足够小以避免非线性效应。

你可以通过增加和减少参数来获得所谓的中心差分来提高分析的准确性，如下图所示。从计算的角度来看，这需要花费2倍的时间，因为你必须对两个新的参数值而不是一个新值来评估模型。

在数学上，灵敏度可以看成是对一个或多个输入参数的求导结果。上述我们讨论的两种方法是最常见的近似求导法。

可以使用灵敏度分析以及正向或中心差分相结合的方法来计算曲线的斜率。

然而，灵敏度分析是 COMSOL Multiphysics 中的内置功能，因此你无需自行扰动参数。你可以使用伴随灵敏度分析来避免一些相关数值参数带来的参数扰动，结果以单一线性解的代价来计算灵敏度。从概念上讲，你可以把它看所使用分析方法计算导数，而不是通过有限差分对它进行近似。这个功能可用于稳态和频域研究类型，只要参数不改变网格就可以使用。

文中演示的示例中，我们将使用伴随灵敏度分析，因为考虑的问题有很多参数。

桁架塔的弯曲和扭转

想象一个底部固定的桁架塔，顶部承受扭转和弯曲载荷，如下图左侧所示。该模型使用不包含旋转信息的桁架单元。但是，计算倾斜度和扭转度需要这些信息。

该模型使用梁单元（在下图右上方显示为黑色十字）来测量倾斜度和扭转度。

弯曲和扭转载荷工况（左）以及使用 4 个顶部节点位移计算的偏航和倾斜变形的定义（右）。

下表列出了扭转和弯曲载荷工况的倾斜度和扭转度：

载荷工况	倾斜度（°）	扭转度（°）
弯曲	0.72	0
扭转	0	1.2

在 COMSOL Multiphysics® 中执行灵敏度分析

我们将研究该塔对单个梁横截面积变化的敏感程度。通过为每个梁创建一个控制变量来实现这个研究，该变量可用于调节梁的横截面积。在 COMSOL 中我们使用边控制变量场 Abar 来实现。COMSOL Multiphysics 的核心功能包含灵敏度研究步骤，我们需要在“显示更多选项 ”对话框中启用并添加这项功能。

可以从显示更多选项中启用灵敏度研究步骤。

控制变量将自动显示在灵敏度研究步骤中，但必须使用探针或积分耦合算子定义目标函数。无论哪种情况，我们都可以在灵敏度研究步骤中输入目标函数，如下图所示。

倾斜目标被定义为一个变量，因此它可以直接写入目标函数表格或使用添加表达式按钮添加。

灵敏度分析的结果

对于控制变量的灵敏度，我们可以使用表达式 fsens(abar) 绘制，如下图的倾斜灵敏度所示。对于弯曲载荷工况，如果对垂直梁进行加固，倾斜度将会降低，尤其是在塔的下部。右侧为扭转载荷工况，我们可以看到塔的倾斜对梁区域的变化不敏感。

绘制了弯曲载荷工况（左）和扭转载荷工况（右）下的倾斜灵敏度。

扭转灵敏度如下图所示。我们可以通过在一侧加固对角梁，同时在另一侧削弱对角梁，为弯曲荷载工况引入扭转度。这样做会破坏对称性，使塔顶响应弯曲载荷而扭转。对于扭转载荷工况，可以通过加强对角梁来减小扭转度。

绘制了弯曲载荷工况（左）和扭转载荷工况（右）的扭转灵敏度。

倾斜度和扭转度对水平梁的变化都不敏感，这表明可以移除它们，从而降低结构的成本。然而，这将导致垂直梁的长度加倍，结构将变得更容易受到局部屈曲的影响。